Enigmes mathématiques

kar421
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Re: Enigmes mathématiques

Postby kar421 » Tue 24 May 2016, 22:01

j'ai une solution mais je ne sais pas si elle est unique :

14 araignées et une compensation de 4 po


démonstration :
vendre x araignées a x po chaque donne x² po
si y represente le nombre de ver a soie et z le prix du bovin on a :
x² = 10 *y + z
comme ils se partagent equitablement le nombre de tetes y+1(le bovin) est pair donc y est impair
x, y et z sont des entiers naturels.
le premier groupe d'entier naturel correspondant est x = 14, y = 19 et z = 6
14² = 196 = 19 * 10 + 6
comme le prix du bovin est de 6 po dans ce cas, la compensation sera de 10 - 6 = 4 po

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Re: Enigmes mathématiques

Postby Nadoniel » Wed 25 May 2016, 08:20

Je confirme qu'il n'y a qu'1 solution pour la compensation :

Prix des araignées = X * X = 10 * (nombre de vers) + (prix du bovin)
Prix du bovin < 10
nombre de vers est impair (puisque sinon il n'y aurait pas eu de bovin dans l'histoire).

Notons 2k+1 le nombre de vers et B le prix du bovin.
Notons x0 l'unité de X et x1 les dizaines (et au-delà) de X.

X*X = 10 * (2k+1) + B
=> unités de X*X = B
=> dizaines (et au-delà) de X*X = 2k+1

X * X = (10*x1 + x0)² = 100*x1 + 2*10*x1*x0 + x0² = 10*(10*x1²+1*x1x0) + x0²
=> unité de X*X = unité de x0²

Notons retenue0 les dizaines de x0².
retenue0 = {0 1 2 3 4 6 8}
(en effet, les carrés des chiffres de 0 à 9 donnent {0 1 4 9 16 25 36 49 64 81} )

Reprenons la notation de X*X :
X * X = (10*x1 + x0)² = 100*x1 + 2*10*x1*x0 + x0²
Le chiffre des dizaine est donc donné par 2*10*x1*x0 + retenue0.

Or on a vu que ce chiffre doit être impair (2k+1) donc retenue0 est impair.
retenue0 = {1 ou 3}

Les deux chiffres x0 possibles sont donc 4 (4 * 4 = 16) et 6 (6 * 6 = 36).
On obtient donc B = 6 po et la compensation = 10 - 6 = 4 po .


Je pense que la petite Delphine risque d'avoir de plus en plus de mal à comprendre si les énigme continuent à écumer les particularités arithmétiques ^^
Nadoniel

kar421
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Re: Enigmes mathématiques

Postby kar421 » Wed 25 May 2016, 09:16

En utilsant ta demonstration, on remarque que l'ensemble des nombres se terminant par
4 ou 6
donne l'ensemble des solutions :
soit a un entier NON NUL.
si x s'ecrit a *10 + 6, alors x² = 100a² + 120 a + 36 = 10*(10a² +12a +3) + 6, on aura donc 10a² + 12a +3 comme nombre de ver a soie quelque soit a.
idem si x s'ecrit a*10 + 4 avec cette fois ci nombre de ver a soie = 10a² + 8a + 1
exemple : 14, 16, 24, 36, 126, 224, etc ....
si ils ont 224 araignees, ils auront 2509 et 2508 ver a soie, mais bon 224 po l'araignee cela commence a faire cher !

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Re: Enigmes mathématiques

Postby Nuggens » Wed 25 May 2016, 13:22

Pas mal du tout ! Et la réponse est presque juste.

En effet, si Slorum demande 4 po à Matilda, elle risque de lui dire : "HE ! HO ! T'essaierai pas de me voler sous prétexte que je suis une faible femme ? Tu veux tâter de mon gourdin ?" Eh oui, Matilda ne se laisse pas faire comme ça, croyez-en mon expérience !

Indice
Ils doivent partager la différence de prix.... Tellement simple qu'on l'oublie...^^
Il existe une démonstration beaucoup plus simple qui ne nécessite pas de connaître la valeur de x. Comme l'a dit Nadoniel, c'est une particularité des nombres carrés.

Indice
Si l'avant-dernier chiffre d'un carré est impair, son dernier chiffre est obligatoirement un 6.

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Re: Enigmes mathématiques

Postby Gopol » Wed 25 May 2016, 14:01

Ah oui tien amusant le truc avec les carrés, je n'avais jamais remarqué.

k dans [0,9]
(10n+k)² = 200n² + 20 nk + k²

Et on démontre donc cette petite particularité en testant juste les carrés des nombres de 0 à 9 où seuls 4 et 6 donnent un nombre des dizaines impair.
Et sont aussi les seuls donnant un carré se terminant par 6.

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Re: Enigmes mathématiques

Postby Nadoniel » Wed 25 May 2016, 14:38

Effectivement Nuggens, l'idée ne m'a pas traversé l'esprit suffisamment longtemps pour que je la retienne entre le début et la fin du développement... :oops:

Après tout, elle peut lui laisser les 2po de trop pour préjudice moral de n'avoir récupéré que 3/4 en valeur de ce qu'il aurait dû avoir au moment du partage, intérêts du manque à gagner le temps de résoudre le litige, frais d'avocats et d'experts comptables... :evil:
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Re: Enigmes mathématiques

Postby Nuggens » Thu 09 Jun 2016, 13:29

Nadoniel, je te laisse le soin d'en discuter avec Matilda. Mais un conseil, prévois un elixir du phoenix...

Maintenant, je vais vous parler d'un écrin somptueux que j'ai pu admirer lors de ma récente visite chez la merveilleuse Frédérica Soriason.

9 - Lorsqu'elle effectuait ses premières recherches sur les énergies thérianiques, Frédérica Soriason a créé cinq perles de brumes, quatre grosses identiques et une toute petite. Elle les garde précieusement dans un écrin cylindrique en xuran et volcanite de diamètre 20 cm, très ouvragé, recouvert de feuilles d'or et de galandor, et incrusté de pierres de lune, de pierres de soleil et de coeurs élémentaires, tous en 4 carats. L'intérieur est tapissé de l'olkgu le plus fin. Les quatre perles identiques sont posés au fond de cet écrin, tangentes entre elles, tangentes à la face latérale de l'écrin, et tangentes au couvercle tout aussi richement orné de ses initiales en minuscules plumes du prédatoris lorsque qu'il est fermé (pas le prédatoris...). La cinquième perle repose sur les quatre autres et est aussi tangente au couvercle de l'écrin lorsqu'il est refermé.
Frédérica se demande quel peut bien être le diamètre de la plus petite de ses perles ?


Et n'oubliez pas que la petite Delphine (oui, c'est bien elle, la gamine de Fauconnia qui nous bassine avec la serre de ses parents) doit pouvoir comprendre votre démonstration !

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Re: Enigmes mathématiques

Postby Nadoniel » Fri 10 Jun 2016, 16:04

Je tente une réponse.
Je ne sais pas trop quels sont les acquis de Delphine, alors j'ai essayé de revenir à quelques bases de la géométrie...
...notamment montrer où sont les angles droits utiles...
Image
Diamètre de la petite perle = 10 / (sqrt(2) + 1), soit 4,142 cm environ.
On suppose du coup que Delphine connait les racines carrées et Pythagore ^^

J'espère qu'il n'y a pas trop d'étourderies (oubli de détails d'énoncé, erreurs de signe...)
en plus du "h" de Pythagore oublié 2 fois :oops:
Nadoniel


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